指数とは、同じ数を繰り返し掛ける回数を表す数である。$a^n$ は底 $a$ を $n$ 回掛けることを意味し、この $n$ が指数にあたる。$a^m \times a^n = a^{m+n}$ のように指数どうしの足し算が掛け算に対応する指数法則が、計算を単純にする核心となる。 定義は自然数の反復乗算から始まり、0・負数・有理数・実数へと拡張された。連続的な値へ広げた指数関数 $\exp(x)$ や、その逆演算である対数の土台となり、急激な成長・減衰のモデル化に用いられる。 ## 指数法則 | 規則 | 式 | | --------- | ------------------------------------------- | | 乗法の加法 | $x^m \times x^n = x^{m+n}$ | | 除法の減法 | $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ | | 累乗の累乗 | $(x^m)^n = x^{mn}$ | | 積の累乗 | $(xy)^m = {x^m}{y^m}$ | | 商の累乗 | $(\frac{x}{y})^m = \frac{x^m}{y^m}$ | | 0 乗 | $x^0=1$ | | 逆数 | $x^{-1}=\frac{1}{x}$ | | 分数乗（有理数乗） | $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\quad(x>0)$ |